请问⭐❤+⭐=❤5怎么给孩子讲解思路?

发布时间：

2024-10-14 17:35

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本题实际上是要求解Diophantine方程 $(10\lambda+\nu)+\lambda=10\nu+5$ .

由于 $5|10\nu+5$ ，可知方程左侧也是 $5$ 的整数倍。由于 $5|10\lambda$ ，得 $5|\nu+\lambda$ .

结合原题背景，可知 $1\leq\lambda\leq9,1\leq\nu\leq9$ ，所以 $2\leq\lambda+\nu\leq18$ .结合之前得到的条件 $5|\nu+\lambda$ 可知 $\nu+\lambda=5, 10, 15$ .

我们不妨设 $\nu+\lambda=5\mu,\mu=1,2,3$ ，则原方程可以被写成： $10\lambda+5\mu=10\nu+5$ ，两边同除以 $5$ 得 $2\lambda+\mu=2\nu+1$ .由于右侧为奇数，故左侧也必须是奇数，由此排除 $\mu=2$ 的可能性。

假设 $\mu=1$ ，则可知 $\lambda=\nu$ ，且 $\lambda+\nu=5$ .注意到 $\lambda+\nu=2\lambda$ 为偶数，而 $5$ 是奇数，故该组方程没有整数解， $\mu=1$ 不成立。

假设 $\mu=3$ ，则可知 $\lambda-\nu=-1$ ，且 $\lambda+\nu=15$ .故可以列出二元一次方程组：

$\begin{pmatrix}1&-1 \\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda \\ \nu\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 15\end{pmatrix}$

可以使用Cramer法则求解该方程组：

$\lambda=\frac{\begin{vmatrix}-1&-1 \\ 15 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1 \\ 1 & 1\end{vmatrix}}=\frac{-1-(-15)}{1-(-1)}=7$

$\nu=\frac{\begin{vmatrix}1&-1 \\ 1 & 15\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1 \\ 1 & 1\end{vmatrix}}=\frac{15-(-1)}{1-(-1)}=8$

经检验该组解符合题意。

综上所述，本题具有唯一解：五角星=7，爱心=8.

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