0³+1³+2³+3³+4³＝100，这是巧合吗?

发布时间：

2024-08-15 21:07

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这种适合用数学归纳法来证明。

对于任意正整数 $n$ 有

$0^3+1^3+2^3+...+n^3=(0+1+2+...n)^2$

简单来看，根据各自求和公式

立方和公式为

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

而前 $n$ 项自然数的和为

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}$

那么当然有

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left(\sum_{i=1}^{n}{i}\right)^2$

那么也有直接一点正面硬刚的方式。（这种也适合空间想象，将立方和当做体积和。和的平方，当做一个高为 $1$ 的立方块组成的平铺的平面。）

那就，使用数学归纳法，来证明。

当 $n=1$ 时有

$1^3=1^2$

于是，对于 $n\le k$ 都有

$\displaystyle \sum_{i=1}^{k}{i^3}=\left(\sum_{i=1}^{k}{i}\right)^2$

当 $n=k+1$ 时

$\displaystyle \sum_{i=1}^{k+1}{i^3}=\sum_{i=1}^{k}{i^3}+(k+1)^3=\left( \sum_{i=1}^{k}{i}\right)^2+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3$

提取个公因式，将 $(k+1)^2$ 提走

$\displaystyle \sum_{i=1}^{k+1}{i^3}=\frac{(k+1)^2}{4}(k^2+4k+4)=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\\\displaystyle=\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2\\\displaystyle=\left(\sum_{i=1}^{k+1}{i}\right)^2$

于是对于任意整数， $n$ 都有

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i^3}=\left(\sum_{i=1}^{n}{i}\right)^2$

得证。

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