请问A+B+C=A×B×C，A、B、C各等于几？

发布时间：

2024-06-23 00:00

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好不容易做完了，怎么告诉我是标量啊（恼）

在 $\mathbb{C}^3$ 上考虑本问题。

按叉乘右结合来算，也就是说等式右边看作 $A\times (B\times C)$

九个未知数三个方程，也就是说具体求出来是不可能的，只能给出相同个数的约束。

首先，两边点乘 $A$ 可以得到第一个约束：

$A \cdot (A+B+C) = 0$

然后，两边相等所以叉乘得0：

$\begin{align} &(A+B+C)\times \left(A \times (B \times C)\right)=0\\ \Leftrightarrow & \left( \left( A+B+C\right)\cdot (B \times C) \right) A - \left( \left( A+B+C\right)\cdot A \right) (B \times C)=0\\ \end{align}$

根据第一个约束，第二项为0；再加上 $B$ 和 $C$ 与 $B \times C$ 内积为0，可以得到第二个约束：

$\begin{align} &\left( A\cdot (B \times C) \right) A=0\\ \Leftrightarrow & A\cdot (B \times C)=0\\ \end{align}$

上面两个约束都是形状上的，保证了两边的向量平行。最后一个约束当然就是大小上面的，不太重要。事实上如果找到了满足上面两个约束的三个向量 $A_0,B_0,C_0$ 那么一定能找到一个复数 $\alpha$ 使 $\alpha A_0,\alpha B_0,\alpha C_0$ 满足题目要求。

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